Многие выдающиеся математики вносили свою лепту в исследование притяжения эллипсоидов. Исторически первыми основательно были изучены однородные эллипсоиды. Здесь оттачивалось мастерство Ньютона, Маклорена, Лежандра, Айвори, Гаусса, Родрига, Дирихле. Значительно меньше внимания (отчасти, из-за неопределённости в постановке задачи, а также из-за математических трудностей) привлекли неоднородные эллипсоиды. Для прикладных целей важно исследовать слоисто-неоднородный эллипсоид, внутри которого вещество стратифицировано и плотность остаётся постоянной на эллипсоидальных поверхностях, но может изменяться от слоя к слою. Полное решение этой актуальной задачи было получено на кафедре астрономии и механики.
Ещё Ньютон был приятно удивлён возможностью замены внешнего поля гравитирующего шара полем центральной точечной массы. Но сфера — лишь частный случай эллипсоида, и следующий шаг делает Маклорен: однородные софокусные эллипсоиды равной массы создают во внешнем пространстве одинаковые гравитационные поля. Отсюда следует интересный вывод: внешнее притяжение вытянутого сфероида не изменится при его софокусном преобразовании в стержень длиной 
с линейной плотностью 
Этот фокальный стержень является эквигравитирующим вытянутому сфероиду. Взглянем теперь на рис. 1, где изображены сечения трёх однородных тел: вытянутого сфероида a1≥a3, шара a3=a1 и сжатого сфероида a3≤a1. При переходе от вытянутого сфероида к шару эквигравитирующий стержень вырождается в материальную точку.
\fig<bb=0 0 107.2mm 40.4mm>{risgl1.pcx}[Представление внешних гравитационных полей\,: (a) вытянутого однородного сфероида~--- неоднородным вещественным стержнем, (б) шара --- материальной точкой и (в) однородного сжатого сфероида --- неоднородным стержнем с чисто мнимым распределением плотности.]
Возникает вопрос: что делается с этой материальной точкой при деформации шара в сжатый сфероид? Ответ парадоксален: эта точка преобразуется опять в одномерный стержень, но стержень с уже чисто мнимой плотностью 
Такой отрезок обладает той же полной массой и, что самое главное, тем же внешним гравитационным полем, что и однородный сжатый сфероид. Подобные эквигравитирующие стержни имеют все осесимметричные тела.
Вопрос в том, как найти эквигравитирующие стержни. Это трудная математическая задача. Для ее решения на кафедре были разработаны специальные методы, опирающиеся на теорию функции комплексной переменной.
Заметим, что с помощью заменяющих стержней упрощается представление внешних полей гравитирующих (или заряженных электричеством) тел, что играет большую роль для многих прикладных задач в физике, астрофизике, небесной механике и геофизике. С помощь стержней открываются также и новые способы нахождения потенциальной (гравитационной) энергии тел самой различной формы. Все это делает развитую теорию нужной для практики.
На кафедре разработано около десяти принципиально новых теоретических методов, которые позволяют вычислять гравитационную энергию тел сложной формы.
| 1 | Потенциалы и динамика слоисто-неоднородного эллипсоида | Препринт ФИАН № 52, 1981 г. |
| 2 | Ньютоновы потенциалы и динамика слоисто-неоднородного эллипсоида | Астрономический журн., том 59, стр. 458, 13 стр., 1982 г. |
| 3 | Динамика эллипсоидальных фигур равновесия | М.: Наука, стр. 272, 1989 г. |
| 4 | Новые методы в теории ньютоновского потенциала. О представлении потенциальной энергии однородных гравитирующих тел сходящимися рядами | Астрономический журн., том 70, вып. 3, 9 стр., 1993 г. |
| 5 | Новые методы в теории ньютоновского потенциала. Потенциальная энергия однородных линзовидных тел и шаровых сегментов | Астрономический журн., том 70, вып. 3, 16 стр., 1993 г. |
| 6 | On the conditional extremum for the gravitational energy inherent to the oblate spheroid (соавтор В. А. Антонов) | Astronomical and Astrophysical Trаnsactions, v. 7, p.173, 1995 |
| 7 | Теория потенциала: эквигравитирующие стержни для осесимметричных тел | Вестник Удмуртского Университета, Ижевск, № 4, 20 стр., 2000 г. |
| 8 | Новый метод нахождения радиуса сходимости у рядов Лапласа для потенциала осесимметричных тел (соавтор В. А. Антонов) | Известия Главной астрономической обсерватории (Пулково), № 214, стр. 115−134, 2000 г. |
| 9 | К проблеме замещающих самогравитирующих дисков в теории потенциала (соавторы В. А. Антонов, О. А. Железняк) | Вестник астрономической школы, Киев, том 1, № 2, 7 стр., 2000 г. |
| 10 | Теория потенциала: эквигравитирующие стержни для осесимметричных тел | Журнал Вычислительной математики и Математической физики, том 41, № 2, 15 стр., 2001 г. |
| 11 | Эквигравитирующий «крест» для симметричной линзы, ограниченной параболоидами вращения | Вестник Удмуртского Университета, Ижевск, № 3, 4 стр., 2001 г. |
| 12 | Нахождение силовой функции взаимного притяжения двух тел методом эквигравитирующих стержней (соавтор Трубицына Н.Г.) | Вестник Удмуртского Университета, Ижевск, № 3, 9 стр., 2001 г. |
| 13 | Прямой метод нахождения потенциалов двумерных однородных тел. Внутренний потенциал цилиндра с лемнискатным сечением (соавторы Мухаметшина Э.Ш., Трубицына Н.Г.) | Вестник Удмуртского Университета, Ижевск, Серия МАТЕМАТИКА, 18 стр., 2003 г. |
| 14 | Монография «Теория потенциала и фигуры равновесия» | Москва-Ижевск, РХД, 607 стр., Уч. изд. л. 50,34, 2003 г. |
